Branko Cvejić je rođen je u Beogradu 25. avgusta 1946. Maturirao je u Petoj beogradskoj gimnaziji 1965. i iste godine upisao glumu na Fakultetu dramskih umetnosti u Beogradu.
Najviše je sarađivao sa rediteljem Dejanom Mijačem, kao glumac, a kasnije i kao producent brojnih predstava. Gostovao je i na drugim pozorišnim scenama, između ostalog i u Zvezdara teatru – pozorištu u čijem je osnivanju i sam učestvovao.
Igrao je u više od 40 celovečernjih igranih filmova i ostvario niz značajnih uloga u TV serijama, filmovima i dramama.
„Branko Cvejić pripada generaciji srpskih i jugoslovenskih pozorišnih, filmskih i televizijskih glumaca koja je, krajem šezdesetih godina prošlog veka, osvojila, potpuno preuzela i radikalno izmenila izgled ovdašnjeg glumišta, napravivši dovršen stilski preokret kojim je najavljeni dah modernosti iz prethodne decenije konačno postao dominantnim scenskim izrazom u skladu sa duhom epohe i kretanjima u scenskim umetnostima u svetu.
Doprinos Branka Cvejića ovoj glumačkoj revoluciji kulminirao je u televizijskoj seriji, kao i kasnijem filmskom nastavku, „Grlom u jagode“, autora Srđana Karanovića, u kojoj je ovaj stilski prevrat, najavljen brojnim ranijim ulogama u Jugoslovenskom dramskom pozorištu i Ateljeu 212, kao i na filmu i televiziji, „ozvaničen“ i ustoličen. Ova uloga učinila je Branka Cvejića jednim od vodećih dramskih umetnika svoje generacije i ondašnje Jugoslavije“, saopštilo je Jugoslovensko dramsko pozorište.